{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=20$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$30x+15y=675$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$30x=-15y+675$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

-15y+675-ஐ \frac{1}{30} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

பிற சமன்பாடு 42x+20y=940-இல் x-க்கு \frac{-y+45}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

\frac{-y+45}{2}-ஐ 42 முறை பெருக்கவும்.

$$-21y+945+20y=940$$

20y-க்கு -21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y+945=940$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 945-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y=-5$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

5-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5}{2} உடன் \frac{45}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=20$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=20,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=20,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

30x மற்றும் 42x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 42-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 30-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

எளிமையாக்கவும்.

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 1260x+630y=28350-இலிருந்து 1260x+600y=28200-ஐக் கழிக்கவும்.

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

-1260x-க்கு 1260x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 1260x மற்றும் -1260x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$630y-600y=28350-28200$$

-600y-க்கு 630y-ஐக் கூட்டவும்.

$$30y=28350-28200$$

-28200-க்கு 28350-ஐக் கூட்டவும்.

$$30y=150$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

42x+20y=940-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$42x+20\times 5=940$$

5-ஐ 20 முறை பெருக்கவும்.

$$42x+100=940$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 100-ஐக் கழிக்கவும்.

$$42x=840$$

இரு பக்கங்களையும் 42-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=20$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=20,y=5$$