{l}{3x-4y=-6}{x+2y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-4y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=4y-6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

4y-6-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

பிற சமன்பாடு x+2y=8-இல் x-க்கு \frac{4y}{3}-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{4}{3}y-2+2y=8$$

2y-க்கு \frac{4y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{10}{3}y-2=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{10}{3}y=10$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{10}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=3$$

x=\frac{4}{3}y-2-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

3-ஐ \frac{4}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=4-2$$

4-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

3x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3x-4y=-6,3x+3\times 2y=3\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3x-4y=-6,3x+6y=24$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x-4y=-6-இலிருந்து 3x+6y=24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3x-4y-6y=-6-24$$

-3x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3x மற்றும் -3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-4y-6y=-6-24$$

-6y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=-6-24$$

-24-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$-10y=-30$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

x+2y=8-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+2\times 3=8$$

3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x+6=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=3$$