{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+6y=24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-6y+24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

-6y+24-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2y+8$$

பிற சமன்பாடு 9x+5y=68-இல் x-க்கு -2y+8-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

-2y+8-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-18y+72+5y=68$$

5y-க்கு -18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y+72=68$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 72-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-13y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{13}$$

x=-2y+8-இல் y-க்கு \frac{4}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

\frac{4}{13}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

-\frac{8}{13}-க்கு 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{96}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

3x மற்றும் 9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

எளிமையாக்கவும்.

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 27x+54y=216-இலிருந்து 27x+15y=204-ஐக் கழிக்கவும்.

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

-27x-க்கு 27x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 27x மற்றும் -27x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$54y-15y=216-204$$

-15y-க்கு 54y-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y=216-204$$

-204-க்கு 216-ஐக் கூட்டவும்.

$$39y=12$$

இரு பக்கங்களையும் 39-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{4}{13}$$

9x+5y=68-இல் y-க்கு \frac{4}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

\frac{4}{13}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{20}{13}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x=\frac{864}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{96}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$