{l}{3x+4y=5}{2x+3y=9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 4 y = 5 } \\ { 2 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-21$$

$$y=17$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+4y=5,2x+3y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+4y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-4y+5$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+5\right)$$

-4y+5-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=9-இல் x-க்கு \frac{-4y+5}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}\right)+3y=9$$

\frac{-4y+5}{3}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}+3y=9$$

3y-க்கு -\frac{8y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{10}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=17$$

x=-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}-இல் y-க்கு 17-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{4}{3}\times 17+\frac{5}{3}$$

17-ஐ -\frac{4}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-68+5}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{68}{3} உடன் \frac{5}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-21$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-21,y=17$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+4y=5,2x+3y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-4\times 2}&-\frac{4}{3\times 3-4\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-4\times 2}&\frac{3}{3\times 3-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-4\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 5-4\times 9\\-2\times 5+3\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\17\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-21,y=17$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+4y=5,2x+3y=9$$

3x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 3x+2\times 4y=2\times 5,3\times 2x+3\times 3y=3\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x+8y=10,6x+9y=27$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x+8y=10-இலிருந்து 6x+9y=27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x+8y-9y=10-27$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$8y-9y=10-27$$

-9y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=10-27$$

-27-க்கு 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-17$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=17$$

2x+3y=9-இல் y-க்கு 17-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\times 17=9$$

17-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x+51=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 51-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-42$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-21$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-21,y=17$$