{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3a+14b=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3a=-14b+4$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

-14b+4-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

பிற சமன்பாடு 13a+19b=13-இல் a-க்கு \frac{-14b+4}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

\frac{-14b+4}{3}-ஐ 13 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

19b-க்கு -\frac{182b}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{52}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{125}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$b=\frac{13}{125}$$

a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}-இல் b-க்கு \frac{13}{125}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{13}{125}-ஐ -\frac{14}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{182}{375} உடன் \frac{4}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=\frac{106}{125}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

3a மற்றும் 13a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 13-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

எளிமையாக்கவும்.

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 39a+182b=52-இலிருந்து 39a+57b=39-ஐக் கழிக்கவும்.

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

-39a-க்கு 39a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 39a மற்றும் -39a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$182b-57b=52-39$$

-57b-க்கு 182b-ஐக் கூட்டவும்.

$$125b=52-39$$

-39-க்கு 52-ஐக் கூட்டவும்.

$$125b=13$$

இரு பக்கங்களையும் 125-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=\frac{13}{125}$$

13a+19b=13-இல் b-க்கு \frac{13}{125}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

\frac{13}{125}-ஐ 19 முறை பெருக்கவும்.

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{247}{125}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$13a=\frac{1378}{125}$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{106}{125}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$