{l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=10$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3-2y=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y=-2+3$$

-2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3-ஐ x+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3x+15$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y-4-3x=15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x=15+4$$

15 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 19.

$$4y-3x=19$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-2y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=2y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

2y+1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

பிற சமன்பாடு -3x+4y=19-இல் x-க்கு \frac{2y+1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

\frac{2y+1}{3}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y-1+4y=19$$

4y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y-1=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=20$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=10$$

x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}-இல் y-க்கு 10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

10-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{20+1}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{20}{3} உடன் \frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=10$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3-2y=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y=-2+3$$

-2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3-ஐ x+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3x+15$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y-4-3x=15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x=15+4$$

15 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 19.

$$4y-3x=19$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=7,y=10$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3=2y-2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3-2y=-2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-2y=-2+3$$

-2 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 1.

$$3x-2y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

3-ஐ x+5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y-4=3x+15$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y-4-3x=15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4y-3x=15+4$$

15 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 19.

$$4y-3x=19$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

3x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -9x+6y=-3-இலிருந்து -9x+12y=57-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

9x-க்கு -9x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -9x மற்றும் 9x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y-12y=-3-57$$

-12y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=-3-57$$

-57-க்கு -3-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=-60$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=10$$

-3x+4y=19-இல் y-க்கு 10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+4\times 10=19$$

10-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x+40=19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 40-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-21$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=10$$