{l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+3y+9=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$x+5y+9=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x+5y=-9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$-x+5y=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+5y=-9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-5y-9$$

பிற சமன்பாடு -x+5y=-4-இல் x-க்கு -5y-9-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-5y-9-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$5y+9+5y=-4$$

5y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y+9=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y=-13$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{13}{10}$$

x=-5y-9-இல் y-க்கு -\frac{13}{10}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-\frac{13}{10}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{13}{2}-9$$

\frac{13}{2}-க்கு -9-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{5}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+3y+9=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$x+5y+9=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x+5y=-9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$-x+5y=-4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

2-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3y+9=2x-2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x+3y+9=-2y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x+3y+9+2y=0$$

3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$x+5y+9=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x+5y=-9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

3-ஐ x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2y=3x-3y-4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

2x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -x.

$$-x+2y=-3y-4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-x+2y+3y=-4$$

2y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.

$$-x+5y=-4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+5y=-9-இலிருந்து -x+5y=-4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

-5y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 5y மற்றும் -5y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$x+x=-9+4$$

x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=-9+4$$

4-க்கு -9-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=-5$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{2}$$

-x+5y=-4-இல் x-க்கு -\frac{5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-\frac{5}{2}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{5}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y=-\frac{13}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{13}{10}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$