{l}{3(x+2)=2y}{2cy+5=7x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + 5 = 7 x } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

$$c\neq \frac{7}{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6=2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+6-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3x-2y=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2cy+5-7x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2cy-7x=-5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-2y=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=2y-6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

-6+2y-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

பிற சமன்பாடு -7x+2cy=-5-இல் x-க்கு \frac{2y}{3}-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-5$$

\frac{2y}{3}-2-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-5$$

2cy-க்கு -\frac{14y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-19$$

இரு பக்கங்களையும் -\frac{14}{3}+2c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

x=\frac{2}{3}y-2-இல் y-க்கு -\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

-\frac{57}{2\left(-7+3c\right)}-ஐ \frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{19}{3c-7}-2$$

-\frac{19}{-7+3c}-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6=2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+6-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3x-2y=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2cy+5-7x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2cy-7x=-5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-5\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6c+5}{3c-7}\\-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{6c+5}{3c-7},y=-\frac{57}{2\left(3c-7\right)}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6=2y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+6-2y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$3x-2y=-6$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2cy+5-7x=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$2cy-7x=-5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-5$$

3x மற்றும் -7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-5\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-15$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -21x+14y=42-இலிருந்து -21x+6cy=-15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

21x-க்கு -21x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -21x மற்றும் 21x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$14y+\left(-6c\right)y=42+15$$

-6cy-க்கு 14y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(14-6c\right)y=42+15$$

15-க்கு 42-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(14-6c\right)y=57$$

இரு பக்கங்களையும் 14-6c-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$

-7x+2cy=-5-இல் y-க்கு \frac{57}{2\left(7-3c\right)}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-7x+2c\times \frac{57}{2\left(7-3c\right)}=-5$$

\frac{57}{2\left(7-3c\right)}-ஐ 2c முறை பெருக்கவும்.

$$-7x+\frac{57c}{7-3c}=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{57c}{7-3c}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7x=-\frac{7\left(6c+5\right)}{7-3c}$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{6c+5}{7-3c},y=\frac{57}{2\left(7-3c\right)}$$