{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 5x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7-ஐ 2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-14y-21=2$$

-6-இலிருந்து 21-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$15x-27-14y=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$15x-14y=2+27$$

2 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 29.

$$15x-14y=29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3-ஐ 4-9x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=12-27x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x மற்றும் 27x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 33x.

$$33x-2y-23=12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$33x-2y=12+23$$

12 மற்றும் 23-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 35.

$$33x-2y=35$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$15x-14y=29$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 14y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15x=14y+29$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

14y+29-ஐ \frac{1}{15} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

பிற சமன்பாடு 33x-2y=35-இல் x-க்கு \frac{14y+29}{15}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

\frac{14y+29}{15}-ஐ 33 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

-2y-க்கு \frac{154y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{319}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{144}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-1$$

x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

-1-ஐ \frac{14}{15} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{14}{15} உடன் \frac{29}{15}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 5x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7-ஐ 2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-14y-21=2$$

-6-இலிருந்து 21-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$15x-27-14y=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$15x-14y=2+27$$

2 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 29.

$$15x-14y=29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3-ஐ 4-9x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=12-27x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x மற்றும் 27x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 33x.

$$33x-2y-23=12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$33x-2y=12+23$$

12 மற்றும் 23-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 35.

$$33x-2y=35$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 5x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

-7-ஐ 2y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$15x-6-14y-21=2$$

-6-இலிருந்து 21-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -27.

$$15x-27-14y=2$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$15x-14y=2+27$$

2 மற்றும் 27-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 29.

$$15x-14y=29$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

3-ஐ 4-9x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y-23=12-27x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 27x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x-2y-23+27x=12$$

6x மற்றும் 27x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 33x.

$$33x-2y-23=12$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$33x-2y=12+23$$

12 மற்றும் 23-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 35.

$$33x-2y=35$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

15x மற்றும் 33x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 33-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 15-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

எளிமையாக்கவும்.

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 495x-462y=957-இலிருந்து 495x-30y=525-ஐக் கழிக்கவும்.

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

-495x-க்கு 495x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 495x மற்றும் -495x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-462y+30y=957-525$$

30y-க்கு -462y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-432y=957-525$$

-525-க்கு 957-ஐக் கூட்டவும்.

$$-432y=432$$

இரு பக்கங்களையும் -432-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

33x-2y=35-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-1-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$33x+2=35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$33x=33$$

இரு பக்கங்களையும் 33-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-1$$