{l}{25x+35y=16500}{x+y=500}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=100$$

$$y=400$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$25x+35y=16500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 35y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$25x=-35y+16500$$

இரு பக்கங்களையும் 25-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

-35y+16500-ஐ \frac{1}{25} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

பிற சமன்பாடு x+y=500-இல் x-க்கு -\frac{7y}{5}+660-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

y-க்கு -\frac{7y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 660-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{2}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=400$$

x=-\frac{7}{5}y+660-இல் y-க்கு 400-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

400-ஐ -\frac{7}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-560+660$$

-560-க்கு 660-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=100$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=100,y=400$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=100,y=400$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

25x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 25-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

எளிமையாக்கவும்.

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 25x+35y=16500-இலிருந்து 25x+25y=12500-ஐக் கழிக்கவும்.

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

-25x-க்கு 25x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 25x மற்றும் -25x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$35y-25y=16500-12500$$

-25y-க்கு 35y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y=16500-12500$$

-12500-க்கு 16500-ஐக் கூட்டவும்.

$$10y=4000$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=400$$

x+y=500-இல் y-க்கு 400-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+400=500$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 400-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=100$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=100,y=400$$