{l}{2y=3x-6}{5x+4y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2y-3x=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=3x-6$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

-6+3x-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

பிற சமன்பாடு 4y+5x=8-இல் y-க்கு \frac{3x}{2}-3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

\frac{3x}{2}-3-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-12+5x=8$$

5x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x-12=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x=20$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{20}{11}$$

y=\frac{3}{2}x-3-இல் x-க்கு \frac{20}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{20}{11}-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=\frac{30}{11}-3$$

\frac{30}{11}-க்கு -3-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-\frac{3}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-6$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-3x=-6$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

2y மற்றும் 4y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8y-12x=-24-இலிருந்து 8y+10x=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

-8y-க்கு 8y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8y மற்றும் -8y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12x-10x=-24-16$$

-10x-க்கு -12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22x=-24-16$$

-16-க்கு -24-ஐக் கூட்டவும்.

$$-22x=-40$$

இரு பக்கங்களையும் -22-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{20}{11}$$

4y+5x=8-இல் x-க்கு \frac{20}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

\frac{20}{11}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{100}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=-\frac{12}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{3}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$