{l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=6$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-15=3y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-15-3y=6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 15-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-3y=6+15$$

6 மற்றும் 15-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 21.

$$2x-3y=21$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 7-ஐ x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x-28=-1-5y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x-28+5y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+5y=-1+28$$

-1 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 27.

$$7x+5y=27$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-3y=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3y+21$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

21+3y-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

பிற சமன்பாடு 7x+5y=27-இல் x-க்கு \frac{21+3y}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

\frac{21+3y}{2}-ஐ 7 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

5y-க்கு \frac{21y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{147}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{31}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-3$$

x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

-3-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{9}{2} உடன் \frac{21}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-15=3y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-15-3y=6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 15-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-3y=6+15$$

6 மற்றும் 15-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 21.

$$2x-3y=21$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 7-ஐ x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x-28=-1-5y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x-28+5y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+5y=-1+28$$

-1 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 27.

$$7x+5y=27$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=6,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ y+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-15=3y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-15-3y=6$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 15-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x-3y=6+15$$

6 மற்றும் 15-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 21.

$$2x-3y=21$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 7-ஐ x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$7x-28=-1-5y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x-28+5y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$7x+5y=-1+28$$

-1 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 27.

$$7x+5y=27$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

2x மற்றும் 7x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 7-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

எளிமையாக்கவும்.

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 14x-21y=147-இலிருந்து 14x+10y=54-ஐக் கழிக்கவும்.

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

-14x-க்கு 14x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 14x மற்றும் -14x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-21y-10y=147-54$$

-10y-க்கு -21y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-31y=147-54$$

-54-க்கு 147-ஐக் கூட்டவும்.

$$-31y=93$$

இரு பக்கங்களையும் -31-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-3$$

7x+5y=27-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

-3-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$7x-15=27$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$7x=42$$

இரு பக்கங்களையும் 7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=6,y=-3$$