{l}{2x+y=-2}{4x+5y=8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-3$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-y-2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

-y-2-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

பிற சமன்பாடு 4x+5y=8-இல் x-க்கு -\frac{y}{2}-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

-\frac{y}{2}-1-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y-4+5y=8$$

5y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y-4=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

x=-\frac{1}{2}y-1-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

4-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2-1$$

-2-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-3,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-3,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x+4y=-8-இலிருந்து 8x+10y=16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4y-10y=-8-16$$

-10y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=-8-16$$

-16-க்கு -8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=-24$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

4x+5y=8-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+5\times 4=8$$

4-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+20=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-12$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-3,y=4$$