{l}{2x+y=-1}{3x+y=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+y=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-y-1$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

-y-1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

பிற சமன்பாடு 3x+y=0-இல் x-க்கு \frac{-y-1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=0$$

\frac{-y-1}{2}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}+y=0$$

y-க்கு -\frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{3}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-3$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

-3-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{3}{2} உடன் -\frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x+y=-1-இலிருந்து 3x+y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3x+y-y=-1$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2x-3x=-1$$

-3x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=-1$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

3x+y=0-இல் x-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3+y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y=-3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$