{l}{2x+3y=38}{-3x+2y=21}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 38 } \\ { - 3 x + 2 y = 21 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=12$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+3y=38$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-3y+38$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+38\right)$$

-3y+38-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y+19$$

பிற சமன்பாடு -3x+2y=21-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+19-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-\frac{3}{2}y+19\right)+2y=21$$

-\frac{3y}{2}+19-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{2}y-57+2y=21$$

2y-க்கு \frac{9y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{2}y-57=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 57-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{2}y=78$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{13}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=12$$

x=-\frac{3}{2}y+19-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\times 12+19$$

12-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-18+19$$

-18-க்கு 19-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=12$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{2\times 2-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2\times 2-3\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\21\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 38-\frac{3}{13}\times 21\\\frac{3}{13}\times 38+\frac{2}{13}\times 21\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\12\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=12$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+3y=38,-3x+2y=21$$

2x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 2x-3\times 3y=-3\times 38,2\left(-3\right)x+2\times 2y=2\times 21$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-6x-9y=-114,-6x+4y=42$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6x-9y=-114-இலிருந்து -6x+4y=42-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x+6x-9y-4y=-114-42$$

6x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -6x மற்றும் 6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9y-4y=-114-42$$

-4y-க்கு -9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=-114-42$$

-42-க்கு -114-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13y=-156$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=12$$

-3x+2y=21-இல் y-க்கு 12-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+2\times 12=21$$

12-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x+24=21$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x=-3$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=12$$