{l}{2x+3y=18-n}{4x-y=5n+1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 18 - n } \\ { 4 x - y = 5 n + 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=5-n$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+3y=18-n$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-3y+18-n$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+18-n\right)$$

-3y+18-n-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9$$

பிற சமன்பாடு 4x-y=5n+1-இல் x-க்கு -\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9\right)-y=5n+1$$

-\frac{3y}{2}+9-\frac{n}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-6y+36-2n-y=5n+1$$

-y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y+36-2n=5n+1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 36-2n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7y=7n-35$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5-n$$

x=-\frac{3}{2}y-\frac{n}{2}+9-இல் y-க்கு 5-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{3}{2}\left(5-n\right)-\frac{n}{2}+9$$

5-n-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3n-15}{2}-\frac{n}{2}+9$$

\frac{-15+3n}{2}-க்கு 9-\frac{n}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{14}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18-n\\5n+1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\left(18-n\right)+\frac{3}{14}\left(5n+1\right)\\\frac{2}{7}\left(18-n\right)-\frac{1}{7}\left(5n+1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}n+\frac{3}{2}\\5-n\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+3y=18-n,4x-y=5n+1$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\times 3y=4\left(18-n\right),2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\left(5n+1\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x+12y=72-4n,8x-2y=10n+2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x+12y=72-4n-இலிருந்து 8x-2y=10n+2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x+12y+2y=72-4n-10n-2$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12y+2y=72-4n-10n-2$$

2y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$14y=72-4n-10n-2$$

-2-10n-க்கு 72-4n-ஐக் கூட்டவும்.

$$14y=70-14n$$

இரு பக்கங்களையும் 14-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5-n$$

4x-y=5n+1-இல் y-க்கு 5-n-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x-\left(5-n\right)=5n+1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் -5+n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=4n+6$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=n+\frac{3}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=n+\frac{3}{2},y=5-n$$