{l}{2m-3n=130}{-m+5=4n}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 m - 3 n = 130 } \\ { - m + 5 = 4 n } \end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m = \frac{535}{11} = 48\frac{7}{11} \approx 48.636363636$$

$$n = -\frac{120}{11} = -10\frac{10}{11} \approx -10.909090909$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-m+5-4n=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$-m-4n=-5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2m-3n=130$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3n-ஐக் கூட்டவும்.

$$2m=3n+130$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{1}{2}\left(3n+130\right)$$

3n+130-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$m=\frac{3}{2}n+65$$

பிற சமன்பாடு -m-4n=-5-இல் m-க்கு \frac{3n}{2}+65-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(\frac{3}{2}n+65\right)-4n=-5$$

\frac{3n}{2}+65-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{3}{2}n-65-4n=-5$$

-4n-க்கு -\frac{3n}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{2}n-65=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 65-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{11}{2}n=60$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{11}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$n=-\frac{120}{11}$$

m=\frac{3}{2}n+65-இல் n-க்கு -\frac{120}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{11}\right)+65$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{120}{11}-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=-\frac{180}{11}+65$$

-\frac{180}{11}-க்கு 65-ஐக் கூட்டவும்.

$$m=\frac{535}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-m+5-4n=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$-m-4n=-5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&-\frac{-3}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\left(-4\right)-\left(-3\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}130\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 130-\frac{3}{11}\left(-5\right)\\-\frac{1}{11}\times 130-\frac{2}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{535}{11}\\-\frac{120}{11}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-m+5-4n=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$-m-4n=-5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2m-3n=130,-m-4n=-5$$

2m மற்றும் -m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2m-\left(-3n\right)=-130,2\left(-1\right)m+2\left(-4\right)n=2\left(-5\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-2m+3n=-130,-2m-8n=-10$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -2m+3n=-130-இலிருந்து -2m-8n=-10-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2m+2m+3n+8n=-130+10$$

2m-க்கு -2m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -2m மற்றும் 2m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3n+8n=-130+10$$

8n-க்கு 3n-ஐக் கூட்டவும்.

$$11n=-130+10$$

10-க்கு -130-ஐக் கூட்டவும்.

$$11n=-120$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-\frac{120}{11}$$

-m-4n=-5-இல் n-க்கு -\frac{120}{11}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-m-4\left(-\frac{120}{11}\right)=-5$$

-\frac{120}{11}-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$-m+\frac{480}{11}=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{480}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-m=-\frac{535}{11}$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{535}{11}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{535}{11},n=-\frac{120}{11}$$