{l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2ax+by=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் by-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

இரு பக்கங்களையும் 2a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

-by+14-ஐ \frac{1}{2a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

பிற சமன்பாடு -2x+9y=-19-இல் x-க்கு \frac{-by+14}{2a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

\frac{-by+14}{2a}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y-க்கு \frac{by}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{14}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

இரு பக்கங்களையும் 9+\frac{b}{a}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}-இல் y-க்கு \frac{14-19a}{9a+b}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

\frac{14-19a}{9a+b}-ஐ -\frac{b}{2a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}-க்கு \frac{7}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28-இலிருந்து \left(-4a\right)x+18ay=-38a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax-க்கு -4ax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -4ax மற்றும் 4ax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay-க்கு -2by-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a-க்கு -28-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

இரு பக்கங்களையும் -2b-18a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19-இல் y-க்கு -\frac{-14+19a}{b+9a}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2ax+by=14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் by-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

இரு பக்கங்களையும் 2a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

-by+14-ஐ \frac{1}{2a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

பிற சமன்பாடு -2x+9y=-19-இல் x-க்கு \frac{-by+14}{2a}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

\frac{-by+14}{2a}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

9y-க்கு \frac{by}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{14}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

இரு பக்கங்களையும் 9+\frac{b}{a}-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}-இல் y-க்கு \frac{14-19a}{9a+b}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

\frac{14-19a}{9a+b}-ஐ -\frac{b}{2a} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}-க்கு \frac{7}{a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

2ax மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2a-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28-இலிருந்து \left(-4a\right)x+18ay=-38a-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

4ax-க்கு -4ax-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -4ax மற்றும் 4ax ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

-18ay-க்கு -2by-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

38a-க்கு -28-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

இரு பக்கங்களையும் -2b-18a-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

-2x+9y=-19-இல் y-க்கு -\frac{-14+19a}{b+9a}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

-\frac{-14+19a}{b+9a}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$