{l}{2a+3b=4}{-2a+3b=-16}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a + 3 b = 4 } \\ { - 2 a + 3 b = - 16 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=5$$

$$b=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2a+3b=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2a=-3b+4$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{2}\left(-3b+4\right)$$

-3b+4-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{3}{2}b+2$$

பிற சமன்பாடு -2a+3b=-16-இல் a-க்கு -\frac{3b}{2}+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(-\frac{3}{2}b+2\right)+3b=-16$$

-\frac{3b}{2}+2-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$3b-4+3b=-16$$

3b-க்கு 3b-ஐக் கூட்டவும்.

$$6b-4=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$6b=-12$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=-2$$

a=-\frac{3}{2}b+2-இல் b-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{3}{2}\left(-2\right)+2$$

-2-ஐ -\frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$a=3+2$$

3-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$a=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=5,b=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 3-3\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 4-\frac{1}{4}\left(-16\right)\\\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=5,b=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2a+3b=4,-2a+3b=-16$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2a+3b=4-இலிருந்து -2a+3b=-16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2a+2a+3b-3b=4+16$$

-3b-க்கு 3b-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3b மற்றும் -3b ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2a+2a=4+16$$

2a-க்கு 2a-ஐக் கூட்டவும்.

$$4a=4+16$$

16-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$4a=20$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=5$$

-2a+3b=-16-இல் a-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக b-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2\times 5+3b=-16$$

5-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-10+3b=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$3b=-6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=-2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=5,b=-2$$