{l}{2-y=2(6x+3)+y}{x+4=3y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 - y = 2 ( 6 x + 3 ) + y } \\ { x + 4 = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{10}{19}\approx -0.526315789$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 6x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2-y=12x+6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x=6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x-y=6$$

-y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$2-2y-12x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2y-12x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$-2y-12x=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+4-3y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x-3y=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-2y-12x=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=12x+4$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{2}\left(12x+4\right)$$

12x+4-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-6x-2$$

பிற சமன்பாடு -3y+x=-4-இல் y-க்கு -6x-2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-6x-2\right)+x=-4$$

-6x-2-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$18x+6+x=-4$$

x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும்.

$$19x+6=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$19x=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{10}{19}$$

y=-6x-2-இல் x-க்கு -\frac{10}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-6\left(-\frac{10}{19}\right)-2$$

-\frac{10}{19}-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{60}{19}-2$$

\frac{60}{19}-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 6x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2-y=12x+6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x=6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x-y=6$$

-y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$2-2y-12x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2y-12x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$-2y-12x=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+4-3y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x-3y=-4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-12\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{-12}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-12\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}&-\frac{6}{19}\\-\frac{3}{38}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{38}\times 4-\frac{6}{19}\left(-4\right)\\-\frac{3}{38}\times 4+\frac{1}{19}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{10}{19}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 6x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2-y=12x+6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x=6+y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2-y-12x-y=6$$

-y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$2-2y-12x=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2y-12x=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$-2y-12x=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+4-3y=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$x-3y=-4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-2y-12x=4,-3y+x=-4$$

-2y மற்றும் -3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\left(-2\right)y-3\left(-12\right)x=-3\times 4,-2\left(-3\right)y-2x=-2\left(-4\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6y+36x=-12,6y-2x=8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6y+36x=-12-இலிருந்து 6y-2x=8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6y-6y+36x+2x=-12-8$$

-6y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6y மற்றும் -6y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$36x+2x=-12-8$$

2x-க்கு 36x-ஐக் கூட்டவும்.

$$38x=-12-8$$

-8-க்கு -12-ஐக் கூட்டவும்.

$$38x=-20$$

இரு பக்கங்களையும் 38-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{10}{19}$$

-3y+x=-4-இல் x-க்கு -\frac{10}{19}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3y-\frac{10}{19}=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{10}{19}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=-\frac{66}{19}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{22}{19}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{10}{19}$$