{l}{2(x+3)=3(y+1)+1}{3(x-y-1)=2(x-2)+3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + 3 ) = 3 ( y + 1 ) + 1 } \\ { 3 ( x - y - 1 ) = 2 ( x - 2 ) + 3 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-4$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3y+3+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$2x+6=3y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+6-3y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=4-6$$

4-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$2x-3y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

2-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-4 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-3y-3=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-3y=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-3y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-3y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3y-2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-2\right)$$

3y-2-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}y-1$$

பிற சமன்பாடு x-3y=2-இல் x-க்கு \frac{3y}{2}-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{3}{2}y-1-3y=2$$

-3y-க்கு \frac{3y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{3}{2}y-1=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{3}{2}y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{3}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-2$$

x=\frac{3}{2}y-1-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{2}\left(-2\right)-1$$

-2-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-3-1$$

-3-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3y+3+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$2x+6=3y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+6-3y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=4-6$$

4-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$2x-3y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

2-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-4 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-3y-3=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-3y=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-3y=2$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2-2\\\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{2}{3}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-4,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3\left(y+1\right)+1$$

3-ஐ y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+6=3y+3+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$2x+6=3y+4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+6-3y=4$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=4-6$$

4-இலிருந்து 6-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$2x-3y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x-y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2\left(x-2\right)+3$$

2-ஐ x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y-3=2x-4+3$$

-4 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -1.

$$3x-3y-3=2x-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-3y-3-2x=-1$$

3x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.

$$x-3y-3=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 3-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-3y=-1+3$$

-1 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-3y=2$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-3y=-2,x-3y=2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x-3y=-2-இலிருந்து x-3y=2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-x-3y+3y=-2-2$$

3y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3y மற்றும் 3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2x-x=-2-2$$

-x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-2-2$$

-2-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-4$$

x-3y=2-இல் x-க்கு -4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4-3y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3y=6$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-4,y=-2$$