{l}{2(3x-4)+3y=31}{x/2-y/5=5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( 3 x - 4 ) + 3 y = 31 } \\ { \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 5 } = 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{76}{9} = 8\frac{4}{9} \approx 8.444444444$$

$$y = -\frac{35}{9} = -3\frac{8}{9} \approx -3.888888889$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-8+3y=31$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 8-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+3y=31+8$$

31 மற்றும் 8-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 39.

$$6x+3y=39$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-2y=50$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$6x+3y=39$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-3y+39$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+39\right)$$

-3y+39-ஐ \frac{1}{6} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}$$

பிற சமன்பாடு 5x-2y=50-இல் x-க்கு \frac{-y+13}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}\right)-2y=50$$

\frac{-y+13}{2}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{65}{2}-2y=50$$

-2y-க்கு -\frac{5y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{2}y+\frac{65}{2}=50$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{65}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{35}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=-\frac{35}{9}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{13}{2}-இல் y-க்கு -\frac{35}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{35}{9}\right)+\frac{13}{2}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{35}{9}-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{35}{18}+\frac{13}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{35}{18} உடன் \frac{13}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{76}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-8+3y=31$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 8-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+3y=31+8$$

31 மற்றும் 8-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 39.

$$6x+3y=39$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-2y=50$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{6\left(-2\right)-3\times 5}&-\frac{3}{6\left(-2\right)-3\times 5}\\-\frac{5}{6\left(-2\right)-3\times 5}&\frac{6}{6\left(-2\right)-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{27}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\50\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{27}\times 39+\frac{1}{9}\times 50\\\frac{5}{27}\times 39-\frac{2}{9}\times 50\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{9}\\-\frac{35}{9}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-8+3y=31$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 8-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$6x+3y=31+8$$

31 மற்றும் 8-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 39.

$$6x+3y=39$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,5-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 10-ஆல் பெருக்கவும்.

$$5x-2y=50$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$6x+3y=39,5x-2y=50$$

6x மற்றும் 5x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$5\times 6x+5\times 3y=5\times 39,6\times 5x+6\left(-2\right)y=6\times 50$$

எளிமையாக்கவும்.

$$30x+15y=195,30x-12y=300$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 30x+15y=195-இலிருந்து 30x-12y=300-ஐக் கழிக்கவும்.

$$30x-30x+15y+12y=195-300$$

-30x-க்கு 30x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 30x மற்றும் -30x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$15y+12y=195-300$$

12y-க்கு 15y-ஐக் கூட்டவும்.

$$27y=195-300$$

-300-க்கு 195-ஐக் கூட்டவும்.

$$27y=-105$$

இரு பக்கங்களையும் 27-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{35}{9}$$

5x-2y=50-இல் y-க்கு -\frac{35}{9}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$5x-2\left(-\frac{35}{9}\right)=50$$

-\frac{35}{9}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$5x+\frac{70}{9}=50$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{70}{9}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5x=\frac{380}{9}$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{76}{9}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{76}{9},y=-\frac{35}{9}$$