{l}{16m+50n=55}{2m+4n=5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 16 m + 50 n = 55 } \\ { 2 m + 4 n = 5 } \end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$n=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$16m+50n=55$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 50n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$16m=-50n+55$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{1}{16}\left(-50n+55\right)$$

-50n+55-ஐ \frac{1}{16} முறை பெருக்கவும்.

$$m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}$$

பிற சமன்பாடு 2m+4n=5-இல் m-க்கு -\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}\right)+4n=5$$

-\frac{25n}{8}+\frac{55}{16}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{25}{4}n+\frac{55}{8}+4n=5$$

4n-க்கு -\frac{25n}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{9}{4}n+\frac{55}{8}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{55}{8}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{9}{4}n=-\frac{15}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{9}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$n=\frac{5}{6}$$

m=-\frac{25}{8}n+\frac{55}{16}-இல் n-க்கு \frac{5}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=-\frac{25}{8}\times \frac{5}{6}+\frac{55}{16}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{5}{6}-ஐ -\frac{25}{8} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=-\frac{125}{48}+\frac{55}{16}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{125}{48} உடன் \frac{55}{16}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$m=\frac{5}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&50\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{16\times 4-50\times 2}&-\frac{50}{16\times 4-50\times 2}\\-\frac{2}{16\times 4-50\times 2}&\frac{16}{16\times 4-50\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{25}{18}\\\frac{1}{18}&-\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}55\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 55+\frac{25}{18}\times 5\\\frac{1}{18}\times 55-\frac{4}{9}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{5}{6}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$16m+50n=55,2m+4n=5$$

16m மற்றும் 2m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 16-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 16m+2\times 50n=2\times 55,16\times 2m+16\times 4n=16\times 5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$32m+100n=110,32m+64n=80$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 32m+100n=110-இலிருந்து 32m+64n=80-ஐக் கழிக்கவும்.

$$32m-32m+100n-64n=110-80$$

-32m-க்கு 32m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 32m மற்றும் -32m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$100n-64n=110-80$$

-64n-க்கு 100n-ஐக் கூட்டவும்.

$$36n=110-80$$

-80-க்கு 110-ஐக் கூட்டவும்.

$$36n=30$$

இரு பக்கங்களையும் 36-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=\frac{5}{6}$$

2m+4n=5-இல் n-க்கு \frac{5}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2m+4\times \frac{5}{6}=5$$

\frac{5}{6}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$2m+\frac{10}{3}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{10}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2m=\frac{5}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=\frac{5}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=\frac{5}{6},n=\frac{5}{6}$$