{l}{11x+19y=25}{19x+11y=15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 11 x + 19 y = 25 } \\ { 19 x + 11 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{1}{24}\approx 0.041666667$$

$$y = \frac{31}{24} = 1\frac{7}{24} \approx 1.291666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$11x+19y=25$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 19y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x=-19y+25$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{11}\left(-19y+25\right)$$

-19y+25-ஐ \frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}$$

பிற சமன்பாடு 19x+11y=15-இல் x-க்கு \frac{-19y+25}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$19\left(-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}\right)+11y=15$$

\frac{-19y+25}{11}-ஐ 19 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{361}{11}y+\frac{475}{11}+11y=15$$

11y-க்கு -\frac{361y}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{240}{11}y+\frac{475}{11}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{475}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{240}{11}y=-\frac{310}{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{240}{11}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{31}{24}$$

x=-\frac{19}{11}y+\frac{25}{11}-இல் y-க்கு \frac{31}{24}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{19}{11}\times \frac{31}{24}+\frac{25}{11}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{31}{24}-ஐ -\frac{19}{11} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{589}{264}+\frac{25}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{589}{264} உடன் \frac{25}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{1}{24}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&19\\19&11\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11}{11\times 11-19\times 19}&-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}\\-\frac{19}{11\times 11-19\times 19}&\frac{11}{11\times 11-19\times 19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}&\frac{19}{240}\\\frac{19}{240}&-\frac{11}{240}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25\\15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{240}\times 25+\frac{19}{240}\times 15\\\frac{19}{240}\times 25-\frac{11}{240}\times 15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\\\frac{31}{24}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$11x+19y=25,19x+11y=15$$

11x மற்றும் 19x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 19-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 11-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$19\times 11x+19\times 19y=19\times 25,11\times 19x+11\times 11y=11\times 15$$

எளிமையாக்கவும்.

$$209x+361y=475,209x+121y=165$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 209x+361y=475-இலிருந்து 209x+121y=165-ஐக் கழிக்கவும்.

$$209x-209x+361y-121y=475-165$$

-209x-க்கு 209x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 209x மற்றும் -209x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$361y-121y=475-165$$

-121y-க்கு 361y-ஐக் கூட்டவும்.

$$240y=475-165$$

-165-க்கு 475-ஐக் கூட்டவும்.

$$240y=310$$

இரு பக்கங்களையும் 240-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{31}{24}$$

19x+11y=15-இல் y-க்கு \frac{31}{24}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$19x+11\times \frac{31}{24}=15$$

\frac{31}{24}-ஐ 11 முறை பெருக்கவும்.

$$19x+\frac{341}{24}=15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{341}{24}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$19x=\frac{19}{24}$$

இரு பக்கங்களையும் 19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{24}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1}{24},y=\frac{31}{24}$$