{l}{100p+q=2.002}{500p+q=2.01}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 100 p + q = 2.002 } \\ { 500 p + q = 2.01 } \end{array} \right.$$

p, q-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$p=0.00002$$

$$q=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் p-ஐத் தனிப்படுத்தி p-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$100p+q=2.002$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் q-ஐக் கழிக்கவும்.

$$100p=-q+2.002$$

இரு பக்கங்களையும் 100-ஆல் வகுக்கவும்.

$$p=\frac{1}{100}\left(-q+2.002\right)$$

-q+2.002-ஐ \frac{1}{100} முறை பெருக்கவும்.

$$p=-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}$$

பிற சமன்பாடு 500p+q=2.01-இல் p-க்கு -\frac{q}{100}+\frac{1001}{50000}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$500\left(-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}\right)+q=2.01$$

-\frac{q}{100}+\frac{1001}{50000}-ஐ 500 முறை பெருக்கவும்.

$$-5q+\frac{1001}{100}+q=2.01$$

q-க்கு -5q-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4q+\frac{1001}{100}=2.01$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1001}{100}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4q=-8$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$q=2$$

p=-\frac{1}{100}q+\frac{1001}{50000}-இல் q-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக p-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$p=-\frac{1}{100}\times 2+\frac{1001}{50000}$$

2-ஐ -\frac{1}{100} முறை பெருக்கவும்.

$$p=-\frac{1}{50}+\frac{1001}{50000}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{50} உடன் \frac{1001}{50000}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$p=\frac{1}{50000}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}100&1\\500&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100-500}&-\frac{1}{100-500}\\-\frac{500}{100-500}&\frac{100}{100-500}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{400}&\frac{1}{400}\\\frac{5}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2.002\\2.01\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{400}\times 2.002+\frac{1}{400}\times 2.01\\\frac{5}{4}\times 2.002-\frac{1}{4}\times 2.01\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}p\\q\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{50000}\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் p மற்றும் q-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$100p+q=2.002,500p+q=2.01$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 100p+q=2.002-இலிருந்து 500p+q=2.01-ஐக் கழிக்கவும்.

$$100p-500p+q-q=2.002-2.01$$

-q-க்கு q-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் q மற்றும் -q ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$100p-500p=2.002-2.01$$

-500p-க்கு 100p-ஐக் கூட்டவும்.

$$-400p=2.002-2.01$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -2.01 உடன் 2.002-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$-400p=-0.008$$

இரு பக்கங்களையும் -400-ஆல் வகுக்கவும்.

$$p=\frac{1}{50000}$$

500p+q=2.01-இல் p-க்கு \frac{1}{50000}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக q-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$500\times \frac{1}{50000}+q=2.01$$

\frac{1}{50000}-ஐ 500 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{100}+q=2.01$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{100}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$q=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$p=\frac{1}{50000},q=2$$