{l}{10y+2x=16}{x=3y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 y + 2 x = 16 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$10y+2x=16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y=-2x+16$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{10}\left(-2x+16\right)$$

-2x+16-ஐ \frac{1}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}$$

பிற சமன்பாடு -3y+x=0-இல் y-க்கு \frac{-x+8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}\right)+x=0$$

\frac{-x+8}{5}-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}+x=0$$

x-க்கு \frac{3x}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{5}x-\frac{24}{5}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{24}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{8}{5}x=\frac{24}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{8}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=3$$

y=-\frac{1}{5}x+\frac{8}{5}-இல் x-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{1}{5}\times 3+\frac{8}{5}$$

3-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{-3+8}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{3}{5} உடன் \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=1,x=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{10-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{10-2\left(-3\right)}&\frac{10}{10-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}&-\frac{1}{8}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16}\times 16\\\frac{3}{16}\times 16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=1,x=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-3y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$10y+2x=16,-3y+x=0$$

10y மற்றும் -3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 10-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3\times 10y-3\times 2x=-3\times 16,10\left(-3\right)y+10x=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-30y-6x=-48,-30y+10x=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -30y-6x=-48-இலிருந்து -30y+10x=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-30y+30y-6x-10x=-48$$

30y-க்கு -30y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -30y மற்றும் 30y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6x-10x=-48$$

-10x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-16x=-48$$

இரு பக்கங்களையும் -16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

-3y+x=0-இல் x-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3y+3=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3y=-3$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=1,x=3$$