{l}{10x+y=6y+5}{10y+x=(10x+y)+27}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + y = 6 y + 5 } \\ { 10 y + x = ( 10 x + y ) + 27 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=7$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+y-6y=5$$

y மற்றும் -6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$10x-5y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y+x-10x=y+27$$

x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9x.

$$10y-9x=y+27$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y-9x-y=27$$

10y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$9y-9x=27$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$10x-5y=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5y-ஐக் கூட்டவும்.

$$10x=5y+5$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{10}\left(5y+5\right)$$

5+5y-ஐ \frac{1}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

பிற சமன்பாடு -9x+9y=27-இல் x-க்கு \frac{1+y}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-9\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\right)+9y=27$$

\frac{1+y}{2}-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}+9y=27$$

9y-க்கு -\frac{9y}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{9}{2}y-\frac{9}{2}=27$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{9}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{9}{2}y=\frac{63}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{9}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=7$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{2}\times 7+\frac{1}{2}$$

7-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7+1}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{7}{2} உடன் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=7$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+y-6y=5$$

y மற்றும் -6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$10x-5y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y+x-10x=y+27$$

x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9x.

$$10y-9x=y+27$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y-9x-y=27$$

10y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$9y-9x=27$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&-5\\-9&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&-\frac{-5}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}&\frac{10}{10\times 9-\left(-5\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\27\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5+\frac{1}{9}\times 27\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=7$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x+y-6y=5$$

y மற்றும் -6y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$10x-5y=5$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y+x-10x=y+27$$

x மற்றும் -10x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9x.

$$10y-9x=y+27$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10y-9x-y=27$$

10y மற்றும் -y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$9y-9x=27$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$10x-5y=5,-9x+9y=27$$

10x மற்றும் -9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 10-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-9\times 10x-9\left(-5\right)y=-9\times 5,10\left(-9\right)x+10\times 9y=10\times 27$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-90x+45y=-45,-90x+90y=270$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -90x+45y=-45-இலிருந்து -90x+90y=270-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-90x+90x+45y-90y=-45-270$$

90x-க்கு -90x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -90x மற்றும் 90x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$45y-90y=-45-270$$

-90y-க்கு 45y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-45y=-45-270$$

-270-க்கு -45-ஐக் கூட்டவும்.

$$-45y=-315$$

இரு பக்கங்களையும் -45-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=7$$

-9x+9y=27-இல் y-க்கு 7-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-9x+9\times 7=27$$

7-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-9x+63=27$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 63-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-9x=-36$$

இரு பக்கங்களையும் -9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=7$$