{l}{10x+18y=-1}{16x-9y=-5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 x + 18 y = - 1 } \\ { 16 x - 9 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{11}{42}\approx -0.261904762$$

$$y=\frac{17}{189}\approx 0.08994709$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$10x+18y=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$10x=-18y-1$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{10}\left(-18y-1\right)$$

-18y-1-ஐ \frac{1}{10} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}$$

பிற சமன்பாடு 16x-9y=-5-இல் x-க்கு -\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$16\left(-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}\right)-9y=-5$$

-\frac{9y}{5}-\frac{1}{10}-ஐ 16 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{144}{5}y-\frac{8}{5}-9y=-5$$

-9y-க்கு -\frac{144y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{189}{5}y-\frac{8}{5}=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{189}{5}y=-\frac{17}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{189}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{17}{189}$$

x=-\frac{9}{5}y-\frac{1}{10}-இல் y-க்கு \frac{17}{189}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{9}{5}\times \frac{17}{189}-\frac{1}{10}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{17}{189}-ஐ -\frac{9}{5} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{17}{105}-\frac{1}{10}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{17}{105} உடன் -\frac{1}{10}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{11}{42}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}10&18\\16&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{10\left(-9\right)-18\times 16}&-\frac{18}{10\left(-9\right)-18\times 16}\\-\frac{16}{10\left(-9\right)-18\times 16}&\frac{10}{10\left(-9\right)-18\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}&\frac{1}{21}\\\frac{8}{189}&-\frac{5}{189}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{42}\left(-1\right)+\frac{1}{21}\left(-5\right)\\\frac{8}{189}\left(-1\right)-\frac{5}{189}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{42}\\\frac{17}{189}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$10x+18y=-1,16x-9y=-5$$

10x மற்றும் 16x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 16-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 10-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$16\times 10x+16\times 18y=16\left(-1\right),10\times 16x+10\left(-9\right)y=10\left(-5\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$160x+288y=-16,160x-90y=-50$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 160x+288y=-16-இலிருந்து 160x-90y=-50-ஐக் கழிக்கவும்.

$$160x-160x+288y+90y=-16+50$$

-160x-க்கு 160x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 160x மற்றும் -160x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$288y+90y=-16+50$$

90y-க்கு 288y-ஐக் கூட்டவும்.

$$378y=-16+50$$

50-க்கு -16-ஐக் கூட்டவும்.

$$378y=34$$

இரு பக்கங்களையும் 378-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{17}{189}$$

16x-9y=-5-இல் y-க்கு \frac{17}{189}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$16x-9\times \frac{17}{189}=-5$$

\frac{17}{189}-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.

$$16x-\frac{17}{21}=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{17}{21}-ஐக் கூட்டவும்.

$$16x=-\frac{88}{21}$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{11}{42}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{11}{42},y=\frac{17}{189}$$