{l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=28$$

$$y=30$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$0.5x+0.7y=35$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{7y}{10}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.5x=-0.7y+35$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

-\frac{7y}{10}+35-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-1.4y+70$$

பிற சமன்பாடு x+0.4y=40-இல் x-க்கு -\frac{7y}{5}+70-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

\frac{2y}{5}-க்கு -\frac{7y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y+70=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 70-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y=-30$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=30$$

x=-1.4y+70-இல் y-க்கு 30-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-1.4\times 30+70$$

30-ஐ -1.4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-42+70$$

-42-க்கு 70-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=28$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=28,y=30$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=28,y=30$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2} மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

எளிமையாக்கவும்.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 0.5x+0.7y=35-இலிருந்து 0.5x+0.2y=20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

-\frac{x}{2}-க்கு \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{x}{2} மற்றும் -\frac{x}{2} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

-\frac{y}{5}-க்கு \frac{7y}{10}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.5y=35-20$$

-20-க்கு 35-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.5y=15$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=30$$

x+0.4y=40-இல் y-க்கு 30-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+0.4\times 30=40$$

30-ஐ 0.4 முறை பெருக்கவும்.

$$x+12=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=28$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=28,y=30$$