{l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-10x=-15$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-5x+y=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5x=-y-12$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

-y-12-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

பிற சமன்பாடு -10x+5y=-15-இல் x-க்கு \frac{12+y}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

\frac{12+y}{5}-ஐ -10 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y-24+5y=-15$$

5y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y-24=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

3-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{3}{5} உடன் \frac{12}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-10x=-15$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5y-10x=-15$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

-5x மற்றும் -10x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -10-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 50x-10y=120-இலிருந்து 50x-25y=75-ஐக் கழிக்கவும்.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

-50x-க்கு 50x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 50x மற்றும் -50x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-10y+25y=120-75$$

25y-க்கு -10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=120-75$$

-75-க்கு 120-ஐக் கூட்டவும்.

$$15y=45$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

-10x+5y=-15-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-10x+5\times 3=-15$$

3-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$-10x+15=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-10x=-30$$

இரு பக்கங்களையும் -10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=3$$