{l}{x/y=e}{x+y=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { y } = e } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{e}{e+1}\approx 0.731058579$$

$$y=\frac{1}{e+1}\approx 0.268941421$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் y-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=ey$$

பிற சமன்பாடு x+y=1-இல் x-க்கு ey-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$ey+y=1$$

y-க்கு ey-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(e+1\right)y=1$$

இரு பக்கங்களையும் e+1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x=ey-இல் y-க்கு \frac{1}{e+1}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=e\times \frac{1}{e+1}$$

\frac{1}{e+1}-ஐ e முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் y-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=ey$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ey-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-ey=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-e\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-e\right)}&-\frac{-e}{1-\left(-e\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-e\right)}&\frac{1}{1-\left(-e\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{e+1}&\frac{e}{e+1}\\-\frac{1}{e+1}&\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{e}{e+1}\\\frac{1}{e+1}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் y-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=ey$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் ey-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-ey=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+\left(-e\right)y=0,x+y=1$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x+\left(-e\right)y=0-இலிருந்து x+y=1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-x+\left(-e\right)y-y=-1$$

-x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x மற்றும் -x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$\left(-e\right)y-y=-1$$

-y-க்கு -ey-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-e-1\right)y=-1$$

இரு பக்கங்களையும் -e-1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{e+1}$$

x+y=1-இல் y-க்கு \frac{1}{1+e}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x+\frac{1}{e+1}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{1+e}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{e}{e+1}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}$$

மாறி y ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது.

$$x=\frac{e}{e+1},y=\frac{1}{e+1}\text{, }y\neq 0$$