\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 x - y } { 2 } - \frac { 2 - 2 y } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.
x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்
x=3
y=4
விளக்கப்படம்
பகிர்
நகலகத்துக்கு நகலெடுக்கப்பட்டது
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
6-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-6y-4+4y
-2-ஐ 2-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-2y-4
-6y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.
-8x+3y=-2y-4
4x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.
-8x+3y+2y=-4
இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.
-8x+5y=-4
3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.
x-6y+20=3y-13
8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.
x-6y+20-3y=-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y+20=-13
-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.
x-9y=-13-20
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y=-33
-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.
-8x+5y=-4
சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.
-8x=-5y-4
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.
x=-\frac{1}{8}\left(-5y-4\right)
இரு பக்கங்களையும் -8-ஆல் வகுக்கவும்.
x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}
-5y-4-ஐ -\frac{1}{8} முறை பெருக்கவும்.
\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-9y=-33
பிற சமன்பாடு x-9y=-33-இல் x-க்கு \frac{5y}{8}+\frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.
-\frac{67}{8}y+\frac{1}{2}=-33
-9y-க்கு \frac{5y}{8}-ஐக் கூட்டவும்.
-\frac{67}{8}y=-\frac{67}{2}
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.
y=4
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{67}{8}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.
x=\frac{5}{8}\times 4+\frac{1}{2}
x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.
x=\frac{5+1}{2}
4-ஐ \frac{5}{8} முறை பெருக்கவும்.
x=3
பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{5}{2} உடன் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.
x=3,y=4
இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
6-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-6y-4+4y
-2-ஐ 2-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-2y-4
-6y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.
-8x+3y=-2y-4
4x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.
-8x+3y+2y=-4
இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.
-8x+5y=-4
3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.
x-6y+20=3y-13
8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.
x-6y+20-3y=-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y+20=-13
-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.
x-9y=-13-20
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y=-33
-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.
\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.
inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{5}{-8\left(-9\right)-5}\\-\frac{1}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}&-\frac{5}{67}\\-\frac{1}{67}&-\frac{8}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)
எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}\left(-4\right)-\frac{5}{67}\left(-33\right)\\-\frac{1}{67}\left(-4\right)-\frac{8}{67}\left(-33\right)\end{matrix}\right)
அணிகளைப் பெருக்கவும்.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)
எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.
x=3,y=4
அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.
4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)
முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 3,4,2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.
4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)
6-ஐ 2x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-6y-4+4y
-2-ஐ 2-2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
4x+3y=12x-2y-4
-6y மற்றும் 4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.
4x+3y-12x=-2y-4
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12x-ஐக் கழிக்கவும்.
-8x+3y=-2y-4
4x மற்றும் -12x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -8x.
-8x+3y+2y=-4
இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.
-8x+5y=-4
3y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5y.
4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,2,4,10-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 20-ஆல் பெருக்கவும்.
8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4-ஐ 2x+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
-10-ஐ y-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)
4y மற்றும் -10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -6y.
8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)
5-ஐ x+y-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2
-2-ஐ y-x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.
8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2
5y மற்றும் -2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3y.
8x-6y+20=7x+3y-15+2
5x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 7x.
8x-6y+20=7x+3y-13
-15 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -13.
8x-6y+20-7x=3y-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7x-ஐக் கழிக்கவும்.
x-6y+20=3y-13
8x மற்றும் -7x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு x.
x-6y+20-3y=-13
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y+20=-13
-6y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -9y.
x-9y=-13-20
இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.
x-9y=-33
-13-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -33.
-8x+5y=-4,x-9y=-33
நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.
-8x+5y=-4,-8x-8\left(-9\right)y=-8\left(-33\right)
-8x மற்றும் x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -8-ஆலும் பெருக்கவும்.
-8x+5y=-4,-8x+72y=264
எளிமையாக்கவும்.
-8x+8x+5y-72y=-4-264
சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -8x+5y=-4-இலிருந்து -8x+72y=264-ஐக் கழிக்கவும்.
5y-72y=-4-264
8x-க்கு -8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -8x மற்றும் 8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.
-67y=-4-264
-72y-க்கு 5y-ஐக் கூட்டவும்.
-67y=-268
-264-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.
y=4
இரு பக்கங்களையும் -67-ஆல் வகுக்கவும்.
x-9\times 4=-33
x-9y=-33-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.
x-36=-33
4-ஐ -9 முறை பெருக்கவும்.
x=3
சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 36-ஐக் கூட்டவும்.
x=3,y=4
இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.
எடுத்துக்காட்டுகள்
இருபடி சமன்பாடு
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
திரிகோணமதி
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ஒருபடி சமன்பாடு
y = 3x + 4
எண் கணிதம்
699 * 533
அணி
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
உடனிகழ்வு சமன்பாடு
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
வகைக்கெழு
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
தொகையீடு
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
வரம்புகள்
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}