{l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

1 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$3x+y=3\times 3$$

3 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 9.

$$3x+y=9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 2x-5y=-3$$

3 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 6.

$$6x-5y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+y=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-y+9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

-y+9-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

பிற சமன்பாடு 6x-5y=-3-இல் x-க்கு -\frac{y}{3}+3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

-\frac{y}{3}+3-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y+18-5y=-3$$

-5y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y+18=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-7y=-21$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

x=-\frac{1}{3}y+3-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

3-ஐ -\frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-1+3$$

-1-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

1 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$3x+y=3\times 3$$

3 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 9.

$$3x+y=9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 2x-5y=-3$$

3 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 6.

$$6x-5y=-3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

1 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

2 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$3x+y=3\times 3$$

3 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 9.

$$3x+y=9$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 2x-5y=-3$$

3 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 6.

$$6x-5y=-3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

3x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18x+6y=54-இலிருந்து 18x-15y=-9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

-18x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18x மற்றும் -18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y+15y=54+9$$

15y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$21y=54+9$$

9-க்கு 54-ஐக் கூட்டவும்.

$$21y=63$$

இரு பக்கங்களையும் 21-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=3$$

6x-5y=-3-இல் y-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-5\times 3=-3$$

3-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-15=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=12$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=3$$