{l}{x/2+2y/3=1/2}{5x/4+frac{2y}{3}=frac{3}{4}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 5 x } { 4 } + \frac { 2 y } { 3 } = \frac { 3 } { 4 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=3$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 5x+4\times 2y=9$$

3 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 15.

$$15x+4\times 2y=9$$

4 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 8.

$$15x+8y=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+4y=3,15x+8y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+4y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-4y+3$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-4y+3\right)$$

-4y+3-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{4}{3}y+1$$

பிற சமன்பாடு 15x+8y=9-இல் x-க்கு -\frac{4y}{3}+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$15\left(-\frac{4}{3}y+1\right)+8y=9$$

-\frac{4y}{3}+1-ஐ 15 முறை பெருக்கவும்.

$$-20y+15+8y=9$$

8y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-12y+15=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-12y=-6$$

இரு பக்கங்களையும் -12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-\frac{4}{3}y+1-இல் y-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{4}{3}\times \frac{1}{2}+1$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{1}{2}-ஐ -\frac{4}{3} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{3}+1$$

-\frac{2}{3}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{1}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=3$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 5x+4\times 2y=9$$

3 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 15.

$$15x+4\times 2y=9$$

4 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 8.

$$15x+8y=9$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+4y=3,15x+8y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\15&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-4\times 15}&-\frac{4}{3\times 8-4\times 15}\\-\frac{15}{3\times 8-4\times 15}&\frac{3}{3\times 8-4\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{9}\times 9\\\frac{5}{12}\times 3-\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=3$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=3$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\times 5x+4\times 2y=9$$

3 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 15.

$$15x+4\times 2y=9$$

4 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 8.

$$15x+8y=9$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+4y=3,15x+8y=9$$

3x மற்றும் 15x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 15-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$15\times 3x+15\times 4y=15\times 3,3\times 15x+3\times 8y=3\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$45x+60y=45,45x+24y=27$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 45x+60y=45-இலிருந்து 45x+24y=27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$45x-45x+60y-24y=45-27$$

-45x-க்கு 45x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 45x மற்றும் -45x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$60y-24y=45-27$$

-24y-க்கு 60y-ஐக் கூட்டவும்.

$$36y=45-27$$

-27-க்கு 45-ஐக் கூட்டவும்.

$$36y=18$$

இரு பக்கங்களையும் 36-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}$$

15x+8y=9-இல் y-க்கு \frac{1}{2}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$15x+8\times \frac{1}{2}=9$$

\frac{1}{2}-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$15x+4=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x=5$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{1}{2}$$