{l}{x+y/8-y-x/2=1}{3x-1/6+y+3/3=frac{25}{6}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y } { 8 } - \frac { y - x } { 2 } = 1 } \\ { \frac { 3 x - 1 } { 6 } + \frac { y + 3 } { 3 } = \frac { 25 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=4$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4-ஐ y-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-4y+4x=8$$

y மற்றும் -4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$x-3y+4x=8$$

x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-3y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-1+2y+6=25$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x+5+2y=25$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+2y=25-5$$

25-இலிருந்து 5-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 20.

$$3x+2y=20$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$5x-3y=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=3y+8$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

3y+8-ஐ \frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

பிற சமன்பாடு 3x+2y=20-இல் x-க்கு \frac{3y+8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

\frac{3y+8}{5}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

2y-க்கு \frac{9y}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{24}{5}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{19}{5}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=4$$

x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

4-ஐ \frac{3}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{12}{5} உடன் \frac{8}{5}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=4$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4-ஐ y-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-4y+4x=8$$

y மற்றும் -4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$x-3y+4x=8$$

x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-3y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-1+2y+6=25$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x+5+2y=25$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+2y=25-5$$

25-இலிருந்து 5-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 20.

$$3x+2y=20$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=4,y=4$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 8,2-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 8-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y-4\left(y-x\right)=8$$

-4-ஐ y-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y-4y+4x=8$$

y மற்றும் -4y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3y.

$$x-3y+4x=8$$

x மற்றும் 4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 5x.

$$5x-3y=8$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 6,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x-1+2\left(y+3\right)=25$$

2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-1+2y+6=25$$

-1 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$3x+5+2y=25$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+2y=25-5$$

25-இலிருந்து 5-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 20.

$$3x+2y=20$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

5x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

எளிமையாக்கவும்.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 15x-9y=24-இலிருந்து 15x+10y=100-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

-15x-க்கு 15x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 15x மற்றும் -15x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9y-10y=24-100$$

-10y-க்கு -9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19y=24-100$$

-100-க்கு 24-ஐக் கூட்டவும்.

$$-19y=-76$$

இரு பக்கங்களையும் -19-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

3x+2y=20-இல் y-க்கு 4-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+2\times 4=20$$

4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3x+8=20$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=4,y=4$$