{l}{x+y+2/3-y=2}{x/2+2y/3=x-4/3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + y + 2 } { 3 } - y = 2 } \\ { \frac { x } { 2 } + \frac { 2 y } { 3 } = x - \frac { 4 } { 3 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=-2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y+2-3y=6$$

y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$x-2y+2=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$x-2y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=6x-8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+4y-6x=-8$$

3x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+4y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-2y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2y+4$$

பிற சமன்பாடு -3x+4y=-8-இல் x-க்கு 4+2y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(2y+4\right)+4y=-8$$

4+2y-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-6y-12+4y=-8$$

4y-க்கு -6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y-12=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=4$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

x=2y+4-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=2\left(-2\right)+4$$

-2-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-4+4$$

-4-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=-2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y+2-3y=6$$

y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$x-2y+2=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$x-2y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=6x-8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+4y-6x=-8$$

3x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+4y=-8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 4-\left(-8\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=0,y=-2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x+y+2-3y=6$$

y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2y.

$$x-2y+2=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-2$$

6-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 4.

$$x-2y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+2\times 2y=6x-8$$

2 மற்றும் 2-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 4.

$$3x+4y=6x-8$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+4y-6x=-8$$

3x மற்றும் -6x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -3x.

$$-3x+4y=-8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-2y=4,-3x+4y=-8$$

x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3x-3\left(-2\right)y=-3\times 4,-3x+4y=-8$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-3x+6y=-12,-3x+4y=-8$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -3x+6y=-12-இலிருந்து -3x+4y=-8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+3x+6y-4y=-12+8$$

3x-க்கு -3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3x மற்றும் 3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y-4y=-12+8$$

-4y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=-12+8$$

8-க்கு -12-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-2$$

-3x+4y=-8-இல் y-க்கு -2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x+4\left(-2\right)=-8$$

-2-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x-8=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3x=0$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=0,y=-2$$