{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது எந்தவொரு -5,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+5,y-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான y\left(y+5\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் yx-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx மற்றும் -yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$2y=7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-7y=5x+35$$

2y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-5y=5x+35$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

35+5x-ஐ -\frac{1}{5} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-x-7$$

பிற சமன்பாடு -4y+2x=-1-இல் y-க்கு -x-7-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-x-7-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$4x+28+2x=-1$$

2x-க்கு 4x-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x+28=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 28-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x=-29$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7-இல் x-க்கு -\frac{29}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-\frac{29}{6}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

\frac{29}{6}-க்கு -7-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-\frac{13}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது எந்தவொரு -5,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+5,y-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான y\left(y+5\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் yx-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx மற்றும் -yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$2y=7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-7y=5x+35$$

2y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-5y=5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5y-5x=35$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது எந்தவொரு -5,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+5,y-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான y\left(y+5\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் yx-ஐக் கழிக்கவும்.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

yx மற்றும் -yx-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 0.

$$2y=7y+5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-7y=5x+35$$

2y மற்றும் -7y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -5y.

$$-5y=5x+35$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5y-5x=35$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y மற்றும் -4y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -5-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20y+20x=-140-இலிருந்து 20y-10x=5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

-20y-க்கு 20y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20y மற்றும் -20y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$20x+10x=-140-5$$

10x-க்கு 20x-ஐக் கூட்டவும்.

$$30x=-140-5$$

-5-க்கு -140-ஐக் கூட்டவும்.

$$30x=-145$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1-இல் x-க்கு -\frac{29}{6}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

-\frac{29}{6}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{29}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{13}{6}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$