{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,10,8-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 40-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4-இலிருந்து 7-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5-ஐ -3-7x-7y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x மற்றும் 35x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y மற்றும் 35y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 162-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 மற்றும் 162-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 147.

$$85x+11y=147$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ 2y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-10y+35=21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 35-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-10y=21-35$$

21-இலிருந்து 35-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$6x-10y=-14$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$85x+11y=147$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$85x=-11y+147$$

இரு பக்கங்களையும் 85-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

-11y+147-ஐ \frac{1}{85} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

பிற சமன்பாடு 6x-10y=-14-இல் x-க்கு \frac{-11y+147}{85}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

\frac{-11y+147}{85}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-10y-க்கு -\frac{66y}{85}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{882}{85}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{916}{85}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}-இல் y-க்கு \frac{518}{229}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{518}{229}-ஐ -\frac{11}{85} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5698}{19465} உடன் \frac{147}{85}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{329}{229}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,10,8-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 40-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4-இலிருந்து 7-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5-ஐ -3-7x-7y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x மற்றும் 35x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y மற்றும் 35y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 162-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 மற்றும் 162-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 147.

$$85x+11y=147$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ 2y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-10y+35=21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 35-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-10y=21-35$$

21-இலிருந்து 35-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$6x-10y=-14$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,10,8-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 40-ஆல் பெருக்கவும்.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

10 மற்றும் 5-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50-ஐ x-3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-4 மற்றும் 3-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-150-இலிருந்து 12-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-7-ஐ x+y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

4-இலிருந்து 7-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

5-ஐ -3-7x-7y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

50x மற்றும் 35x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 35y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

-24y மற்றும் 35y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 162-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$85x+11y=-15+162$$

-15 மற்றும் 162-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 147.

$$85x+11y=147$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -5-ஐ 2y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-10y+35=21$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 35-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-10y=21-35$$

21-இலிருந்து 35-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$6x-10y=-14$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x மற்றும் 6x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 85-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 510x+66y=882-இலிருந்து 510x-850y=-1190-ஐக் கழிக்கவும்.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

-510x-க்கு 510x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 510x மற்றும் -510x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$66y+850y=882+1190$$

850y-க்கு 66y-ஐக் கூட்டவும்.

$$916y=882+1190$$

1190-க்கு 882-ஐக் கூட்டவும்.

$$916y=2072$$

இரு பக்கங்களையும் 916-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14-இல் y-க்கு \frac{518}{229}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

\frac{518}{229}-ஐ -10 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{5180}{229}-ஐக் கூட்டவும்.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{329}{229}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$