{l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3-ஐ 3x-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

-2-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-4y-2=0$$

-21-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -23.

$$9x-23-4y=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$9x-4y=23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

-5-ஐ 5y+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-25y-20=-30$$

6-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$3x-14-25y=-30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 14-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-25y=-30+14$$

-30 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$3x-25y=-16$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$9x-4y=23$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=4y+23$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

4y+23-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

பிற சமன்பாடு 3x-25y=-16-இல் x-க்கு \frac{4y+23}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

\frac{4y+23}{9}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

-25y-க்கு \frac{4y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{23}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{71}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{4}{9} உடன் \frac{23}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3-ஐ 3x-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

-2-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-4y-2=0$$

-21-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -23.

$$9x-23-4y=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$9x-4y=23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

-5-ஐ 5y+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-25y-20=-30$$

6-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$3x-14-25y=-30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 14-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-25y=-30+14$$

-30 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$3x-25y=-16$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

3-ஐ 3x-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

-2-ஐ 2y+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-21-4y-2=0$$

-21-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -23.

$$9x-23-4y=0$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 23-ஐச் சேர்க்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்துடன் கூட்டும் போது அதுவே கிடைக்கும்.

$$9x-4y=23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 5,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 15-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

3-ஐ x+2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

-5-ஐ 5y+4-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+6-25y-20=-30$$

6-இலிருந்து 20-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -14.

$$3x-14-25y=-30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 14-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x-25y=-30+14$$

-30 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -16.

$$3x-25y=-16$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

9x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 27x-12y=69-இலிருந்து 27x-225y=-144-ஐக் கழிக்கவும்.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

-27x-க்கு 27x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 27x மற்றும் -27x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12y+225y=69+144$$

225y-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$213y=69+144$$

144-க்கு 69-ஐக் கூட்டவும்.

$$213y=213$$

இரு பக்கங்களையும் 213-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

3x-25y=-16-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x-25=-16$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=9$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=1$$