{l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3-ஐ 3x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2-ஐ 4y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-8y+14=12$$

-3 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9x+11-8y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x-8y=12-11$$

12-இலிருந்து 11-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$9x-8y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6,12-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3-ஐ 3y-6-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2-ஐ 5-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-18-இலிருந்து 10-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

1 மற்றும் 12-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

12 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 17.

$$9y-28+2x=-17$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9y+2x=-17+28$$

-17 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9y+2x=11$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$9x-8y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 8y-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=8y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

8y+1-ஐ \frac{1}{9} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

பிற சமன்பாடு 2x+9y=11-இல் x-க்கு \frac{8y+1}{9}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

\frac{8y+1}{9}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

9y-க்கு \frac{16y}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{2}{9}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{97}{9}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=1$$

x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{8}{9} உடன் \frac{1}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3-ஐ 3x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2-ஐ 4y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-8y+14=12$$

-3 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9x+11-8y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x-8y=12-11$$

12-இலிருந்து 11-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$9x-8y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6,12-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3-ஐ 3y-6-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2-ஐ 5-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-18-இலிருந்து 10-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

1 மற்றும் 12-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

12 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 17.

$$9y-28+2x=-17$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9y+2x=-17+28$$

-17 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9y+2x=11$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 2,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3-ஐ 3x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

-2-ஐ 4y-7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-3-8y+14=12$$

-3 மற்றும் 14-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9x+11-8y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x-8y=12-11$$

12-இலிருந்து 11-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 1.

$$9x-8y=1$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 4,6,12-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 12-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3-ஐ 3y-6-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

-2-ஐ 5-x-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-18-இலிருந்து 10-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

1 மற்றும் 12-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

12 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 17.

$$9y-28+2x=-17$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 28-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9y+2x=-17+28$$

-17 மற்றும் 28-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 11.

$$9y+2x=11$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

9x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

எளிமையாக்கவும்.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 18x-16y=2-இலிருந்து 18x+81y=99-ஐக் கழிக்கவும்.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

-18x-க்கு 18x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 18x மற்றும் -18x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-16y-81y=2-99$$

-81y-க்கு -16y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-97y=2-99$$

-99-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-97y=-97$$

இரு பக்கங்களையும் -97-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=1$$

2x+9y=11-இல் y-க்கு 1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+9=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=2$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=1$$