{l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-5$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-5 மற்றும் 6-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -30.

$$3x+5y=-30$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+14+3y=-5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=-5-14$$

-5-இலிருந்து 14-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -19.

$$2x+3y=-19$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+5y=-30$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-5y-30$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

-5y-30-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

பிற சமன்பாடு 2x+3y=-19-இல் x-க்கு -\frac{5y}{3}-10-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

-\frac{5y}{3}-10-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

3y-க்கு -\frac{10y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=-3$$

x=-\frac{5}{3}y-10-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

-3-ஐ -\frac{5}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=5-10$$

5-க்கு -10-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-5,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-5 மற்றும் 6-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -30.

$$3x+5y=-30$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+14+3y=-5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=-5-14$$

-5-இலிருந்து 14-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -19.

$$2x+3y=-19$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-5,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+5y=-5\times 6$$

-5 மற்றும் 6-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு -30.

$$3x+5y=-30$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+7-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+14+3y=-5$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x+3y=-5-14$$

-5-இலிருந்து 14-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -19.

$$2x+3y=-19$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

3x மற்றும் 2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6x+10y=-60-இலிருந்து 6x+9y=-57-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

-6x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6x மற்றும் -6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$10y-9y=-60+57$$

-9y-க்கு 10y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-60+57$$

57-க்கு -60-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-3$$

2x+3y=-19-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

-3-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2x-9=-19$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-5,y=-3$$