{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+7y+3y=0$$

7y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10y.

$$2x+10y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+5y-1=4-2x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x+5y-1=4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x+5y=4+1$$

4 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$4x+5y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x+10y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x=-10y$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

-10y-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-5y$$

பிற சமன்பாடு 4x+5y=5-இல் x-க்கு -5y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

-5y-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$-20y+5y=5$$

5y-க்கு -20y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-15y=5$$

இரு பக்கங்களையும் -15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5y-இல் y-க்கு -\frac{1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-\frac{1}{3}-ஐ -5 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{5}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+7y+3y=0$$

7y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10y.

$$2x+10y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+5y-1=4-2x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x+5y-1=4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x+5y=4+1$$

4 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$4x+5y=5$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+7y+3y=0$$

7y மற்றும் 3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10y.

$$2x+10y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2x+5y-1=4-2x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2x+5y-1+2x=4$$

2x மற்றும் 2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x+5y-1=4$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x+5y=4+1$$

4 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 5.

$$4x+5y=5$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x+40y=0-இலிருந்து 8x+10y=10-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$40y-10y=-10$$

-10y-க்கு 40y-ஐக் கூட்டவும்.

$$30y=-10$$

இரு பக்கங்களையும் 30-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5-இல் y-க்கு -\frac{1}{3}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

-\frac{1}{3}-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{5}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=\frac{20}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{5}{3}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$