{c}{x-5=4(y-5)}{x+3=2(y+3)}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { x - 5 = 4 ( y - 5 ) } \\ { x + 3 = 2 ( y + 3 ) } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=21$$

$$y=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-5=4y-20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5-4y=-20$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-4y=-20+5$$

-20 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -15.

$$x-4y=-15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+3=2y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+3-2y=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-3$$

6-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$x-2y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-4y=-15,x-2y=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-4y=-15$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=4y-15$$

பிற சமன்பாடு x-2y=3-இல் x-க்கு 4y-15-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4y-15-2y=3$$

-2y-க்கு 4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y-15=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=18$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=9$$

x=4y-15-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=4\times 9-15$$

9-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=36-15$$

36-க்கு -15-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=21$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=21,y=9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-5=4y-20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5-4y=-20$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-4y=-20+5$$

-20 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -15.

$$x-4y=-15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+3=2y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+3-2y=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-3$$

6-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$x-2y=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-4y=-15,x-2y=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-4\right)}&\frac{1}{-2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-15\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-15\right)+2\times 3\\-\frac{1}{2}\left(-15\right)+\frac{1}{2}\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=21,y=9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ y-5-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-5=4y-20$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-5-4y=-20$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 5-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-4y=-20+5$$

-20 மற்றும் 5-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு -15.

$$x-4y=-15$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y+3-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+3=2y+6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+3-2y=6$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-2y=6-3$$

6-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு 3.

$$x-2y=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-4y=-15,x-2y=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் x-4y=-15-இலிருந்து x-2y=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-x-4y+2y=-15-3$$

-x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் x மற்றும் -x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-4y+2y=-15-3$$

2y-க்கு -4y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=-15-3$$

-3-க்கு -15-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=-18$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=9$$

x-2y=3-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x-2\times 9=3$$

9-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x-18=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=21$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=21,y=9$$