{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2y+5x=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y=-5x+12$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

-5x+12-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

பிற சமன்பாடு -6y-2x=-24-இல் y-க்கு -\frac{5x}{2}+6-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-\frac{5x}{2}+6-ஐ -6 முறை பெருக்கவும்.

$$15x-36-2x=-24$$

-2x-க்கு 15x-ஐக் கூட்டவும்.

$$13x-36=-24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 36-ஐக் கூட்டவும்.

$$13x=12$$

இரு பக்கங்களையும் 13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6-இல் x-க்கு \frac{12}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{12}{13}-ஐ -\frac{5}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

-\frac{30}{13}-க்கு 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{48}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y மற்றும் -6y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -6-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -12y-30x=-72-இலிருந்து -12y-4x=-48-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

12y-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -12y மற்றும் 12y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-30x+4x=-72+48$$

4x-க்கு -30x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26x=-72+48$$

48-க்கு -72-ஐக் கூட்டவும்.

$$-26x=-24$$

இரு பக்கங்களையும் -26-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24-இல் x-க்கு \frac{12}{13}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

\frac{12}{13}-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{24}{13}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

இரு பக்கங்களையும் -6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{48}{13}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$