{c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=-9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2-ஐ x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y மற்றும் 10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$4x+8y=-64$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 3x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-6-2y=30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9x-2y=30+6$$

30 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 36.

$$9x-2y=36$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x+8y=-64$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-8y-64$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

-8y-64-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-2y-16$$

பிற சமன்பாடு 9x-2y=36-இல் x-க்கு -2y-16-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

-2y-16-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-18y-144-2y=36$$

-2y-க்கு -18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20y-144=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 144-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20y=180$$

இரு பக்கங்களையும் -20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-9$$

x=-2y-16-இல் y-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

-9-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=18-16$$

18-க்கு -16-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2-ஐ x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y மற்றும் 10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$4x+8y=-64$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 3x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-6-2y=30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9x-2y=30+6$$

30 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 36.

$$9x-2y=36$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=-9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

2-ஐ x-5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

6x மற்றும் -2x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 4x.

$$4x-2y=-10y-64$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 10y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-2y+10y=-64$$

-2y மற்றும் 10y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 8y.

$$4x+8y=-64$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 3x-2-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$9x-6-2y=30$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 6-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$9x-2y=30+6$$

30 மற்றும் 6-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 36.

$$9x-2y=36$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

4x மற்றும் 9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

எளிமையாக்கவும்.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 36x+72y=-576-இலிருந்து 36x-8y=144-ஐக் கழிக்கவும்.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

-36x-க்கு 36x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 36x மற்றும் -36x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$72y+8y=-576-144$$

8y-க்கு 72y-ஐக் கூட்டவும்.

$$80y=-576-144$$

-144-க்கு -576-ஐக் கூட்டவும்.

$$80y=-720$$

இரு பக்கங்களையும் 80-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-9$$

9x-2y=36-இல் y-க்கு -9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

-9-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$9x+18=36$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 18-ஐக் கழிக்கவும்.

$$9x=18$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=-9$$