{c}{10(x+3y)-2(7x+8y)=-12}{14x-18y-4(x-18y)=0}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { 10 ( x + 3 y ) - 2 ( 7 x + 8 y ) = - 12 } \\ { 14 x - 18 y - 4 ( x - 18 y ) = 0 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{162}{89} = 1\frac{73}{89} \approx 1.820224719$$

$$y=-\frac{30}{89}\approx -0.337078652$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ x+3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

-2-ஐ 7x+8y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

10x மற்றும் -14x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

30y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$-4x+14y=-12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -4-ஐ x-18y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

14x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

-18y மற்றும் 72y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 54y.

$$10x+54y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-4x+14y=-12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 14y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-4x=-14y-12$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-14y-12\right)$$

-14y-12-ஐ -\frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{7}{2}y+3$$

பிற சமன்பாடு 10x+54y=0-இல் x-க்கு \frac{7y}{2}+3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$10\left(\frac{7}{2}y+3\right)+54y=0$$

\frac{7y}{2}+3-ஐ 10 முறை பெருக்கவும்.

$$35y+30+54y=0$$

54y-க்கு 35y-ஐக் கூட்டவும்.

$$89y+30=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$89y=-30$$

இரு பக்கங்களையும் 89-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{30}{89}$$

x=\frac{7}{2}y+3-இல் y-க்கு -\frac{30}{89}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{7}{2}\left(-\frac{30}{89}\right)+3$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், -\frac{30}{89}-ஐ \frac{7}{2} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{105}{89}+3$$

-\frac{105}{89}-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{162}{89}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ x+3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

-2-ஐ 7x+8y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

10x மற்றும் -14x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

30y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$-4x+14y=-12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -4-ஐ x-18y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

14x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

-18y மற்றும் 72y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 54y.

$$10x+54y=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&14\\10&54\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{14}{-4\times 54-14\times 10}\\-\frac{10}{-4\times 54-14\times 10}&-\frac{4}{-4\times 54-14\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}&\frac{7}{178}\\\frac{5}{178}&\frac{1}{89}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{27}{178}\left(-12\right)\\\frac{5}{178}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{162}{89}\\-\frac{30}{89}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 10-ஐ x+3y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-2\left(7x+8y\right)=-12$$

-2-ஐ 7x+8y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$10x+30y-14x-16y=-12$$

10x மற்றும் -14x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -4x.

$$-4x+30y-16y=-12$$

30y மற்றும் -16y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 14y.

$$-4x+14y=-12$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். -4-ஐ x-18y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$14x-18y-4x+72y=0$$

14x மற்றும் -4x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 10x.

$$10x-18y+72y=0$$

-18y மற்றும் 72y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 54y.

$$10x+54y=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-4x+14y=-12,10x+54y=0$$

-4x மற்றும் 10x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 10-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$10\left(-4\right)x+10\times 14y=10\left(-12\right),-4\times 10x-4\times 54y=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-40x+140y=-120,-40x-216y=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -40x+140y=-120-இலிருந்து -40x-216y=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-40x+40x+140y+216y=-120$$

40x-க்கு -40x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -40x மற்றும் 40x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$140y+216y=-120$$

216y-க்கு 140y-ஐக் கூட்டவும்.

$$356y=-120$$

இரு பக்கங்களையும் 356-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-\frac{30}{89}$$

10x+54y=0-இல் y-க்கு -\frac{30}{89}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$10x+54\left(-\frac{30}{89}\right)=0$$

-\frac{30}{89}-ஐ 54 முறை பெருக்கவும்.

$$10x-\frac{1620}{89}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{1620}{89}-ஐக் கூட்டவும்.

$$10x=\frac{1620}{89}$$

இரு பக்கங்களையும் 10-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{162}{89}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{162}{89},y=-\frac{30}{89}$$