{c}{-2a+2b=2}{3a-2b=2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 2 a + 2 b = 2 } \\ { 3 a - 2 b = 2 } \end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=4$$

$$b=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$-2a+2b=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2a=-2b+2$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=-\frac{1}{2}\left(-2b+2\right)$$

-2b+2-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$a=b-1$$

பிற சமன்பாடு 3a-2b=2-இல் a-க்கு b-1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(b-1\right)-2b=2$$

b-1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$3b-3-2b=2$$

-2b-க்கு 3b-ஐக் கூட்டவும்.

$$b-3=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$b=5$$

a=b-1-இல் b-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=5-1$$

5-க்கு -1-ஐக் கூட்டவும்.

$$a=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=4,b=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{-2\left(-2\right)-2\times 3}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\\frac{3}{2}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2+2\\\frac{3}{2}\times 2+2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=4,b=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$-2a+2b=2,3a-2b=2$$

-2a மற்றும் 3a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\left(-2\right)a+3\times 2b=3\times 2,-2\times 3a-2\left(-2\right)b=-2\times 2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-6a+6b=6,-6a+4b=-4$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6a+6b=6-இலிருந்து -6a+4b=-4-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6a+6a+6b-4b=6+4$$

6a-க்கு -6a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -6a மற்றும் 6a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6b-4b=6+4$$

-4b-க்கு 6b-ஐக் கூட்டவும்.

$$2b=6+4$$

4-க்கு 6-ஐக் கூட்டவும்.

$$2b=10$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=5$$

3a-2b=2-இல் b-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3a-2\times 5=2$$

5-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$3a-10=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 10-ஐக் கூட்டவும்.

$$3a=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=4,b=5$$