x/7+y/3=5;-x/14+3y=26-ஐ தீர்க்கவும்

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=14$$

$$y=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 7,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 21-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+7y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 14-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-x+42y=364$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+7y=105$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 7y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-7y+105$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

-7y+105-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

பிற சமன்பாடு -x+42y=364-இல் x-க்கு -\frac{7y}{3}+35-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

-\frac{7y}{3}+35-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

42y-க்கு \frac{7y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 35-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{133}{3}y=399$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{133}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=9$$

x=-\frac{7}{3}y+35-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

9-ஐ -\frac{7}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-21+35$$

-21-க்கு 35-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=14$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=14,y=9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 7,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 21-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+7y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 14-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-x+42y=364$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=14,y=9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 7,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 21-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3x+7y=105$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 14-ஆல் பெருக்கவும்.

$$-x+42y=364$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

3x மற்றும் -x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -3x-7y=-105-இலிருந்து -3x+126y=1092-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

3x-க்கு -3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3x மற்றும் 3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-7y-126y=-105-1092$$

-126y-க்கு -7y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-133y=-105-1092$$

-1092-க்கு -105-ஐக் கூட்டவும்.

$$-133y=-1197$$

இரு பக்கங்களையும் -133-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=9$$

-x+42y=364-இல் y-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-x+42\times 9=364$$

9-ஐ 42 முறை பெருக்கவும்.

$$-x+378=364$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 378-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x=-14$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=14$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=14,y=9$$