f/11=g/33,text{siendo}f+g=40-ஐ தீர்க்கவும்

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

f, g-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$f=10$$

$$g=30$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 11,33-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3f=g$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$f=\frac{1}{3}g$$

பிற சமன்பாடு f+g=40-இல் f-க்கு \frac{g}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

g-க்கு \frac{g}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{4}{3}g=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{4}{3}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$g=30$$

f=\frac{1}{3}g-இல் g-க்கு 30-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக f-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

30-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$f=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$f=10,g=30$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 11,33-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3f=g$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் g-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3f-g=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3f-g=0,f+g=40$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் f மற்றும் g-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$f=10,g=30$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் 11,33-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 33-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3f=g$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் g-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3f-g=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f மற்றும் f-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3f-g=0-இலிருந்து 3f+3g=120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

-3f-க்கு 3f-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3f மற்றும் -3f ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-g-3g=-120$$

-3g-க்கு -g-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4g=-120$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$g=30$$

f+g=40-இல் g-க்கு 30-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக f-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$f+30=40$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 30-ஐக் கழிக்கவும்.

$$f=10$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$f=10,g=30$$