75/x=75/x+15+1/4-ஐ தீர்க்கவும்

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-75$$

$$x=60$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது எந்தவொரு -15,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,x+15,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4x\left(x+15\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60-ஐ 75-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் 75-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் \frac{1}{4}-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x-ஐ x+15-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x மற்றும் 15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 315x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x மற்றும் -315x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

பல்லுறுப்புக் கோவையை வழக்கமான வடிவத்தில் இடுவதற்கு அதை மீண்டும் ஒழுங்குபடுத்தவும். உறுப்புகளை மிகஅதிக முதல் மிகக்குறைந்த அடுக்கு என்ற வரிசையில் இடவும்.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை -x^{2}+ax+bx+4500-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -4500 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

-15 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=60 b=-75$$

-x^{2}-15x+4500 என்பதை \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

முதல் குழுவில் x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 75-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி -x+60 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, -x+60=0 மற்றும் x+75=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=60 x=-75$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது எந்தவொரு -15,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,x+15,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4x\left(x+15\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60-ஐ 75-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் 75-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் \frac{1}{4}-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x-ஐ x+15-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x மற்றும் 15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 315x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x மற்றும் -315x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக -1, b-க்குப் பதிலாக -15 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக 4500-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-15-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-1-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4500-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

18000-க்கு 225-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

18225-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15-க்கு எதிரில் இருப்பது 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

-1-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{15±135}{-2}-ஐத் தீர்க்கவும். 135-க்கு 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{150}{-2}$$

150-ஐ -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-75$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{15±135}{-2}-ஐத் தீர்க்கவும். 15–இலிருந்து 135–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-120-ஐ -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=60$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=-75 x=60$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது எந்தவொரு -15,0 மதிப்புகளுக்கும் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் x,x+15,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4x\left(x+15\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4x+60-ஐ 75-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் 75-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

4 மற்றும் \frac{1}{4}-ஐப் பெருக்கவும், தீர்வு 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x-ஐ x+15-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

300x மற்றும் 15x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 315x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

300x மற்றும் -315x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x^{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4500-ஐக் கழிக்கவும். எந்தவொரு மதிப்பையும் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து கழிக்கும் போது அதன் எதிர்மறை எண் கிடைக்கும்.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1-ஆல் வகுத்தல் -1-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-15-ஐ -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-4500-ஐ -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}+15x=4500$$

\frac{15}{2}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான 15-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு \frac{15}{2}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், \frac{15}{2}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4}-க்கு 4500-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

காரணி x^{2}+15x+\frac{225}{4}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{15}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=60 x=-75$$